Question

【題目】有兩個全等的含30°角的直角三角板重疊在一起，如圖，將△A′B′C′繞AC的中點M轉動，斜邊A′B′剛好過△ABC的直角頂點C，且與△ABC的斜邊AB交于點N，連接AA′、C′C、AC′．若AC的長為2，有以下五個結論：①AA′=1；②C′C⊥A′B′；③點N是邊AB的中點；④四邊形AA′CC′為矩形；⑤A′N=B′C= ，其中正確的有（ ）
A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①∵點M是線段AC、線段A′C′的中點，AC=2， ∴AM=MC=A′M=MC′=1，
∵∠MA′C=30°，
∴∠MCA′=∠MA′C=30°，
∴∠A′MC=180°﹣30°﹣30°=120°，
∴∠A′MA=180°﹣A′MC=180°﹣120°=60°，
∴∠AMA′=∠C′MC=60°，
∴△AA′M是等邊三角形，
∴AA′=AM=1，故①正確；
②∵∠A′CM=30°，∠MCC′=60°，
∴∠ACA′=∠A′CM+∠MCC′=90°，
∴CC′⊥A′C，故②正確；
③∵∠A′CA=∠NAC=30°，∠BCN=∠CBN=60°，
∴AN=NC=NB，故③正確；
④∵△AA′M≌△C′CM，
∴AA′=CC′，∠MAA′=∠C′CM=60°，
∴AA′∥CC′，
∴四邊形AA′CC′是平行四邊形，
∵∠AA′C=∠AA′M+∠MA′C=90°，
四邊形AA′CC′為矩形，故④正確；
⑤AN= AB= ，
∠NAA′=30°，∠AA′N=90°，
∴A′N= AN= ，故⑤錯誤；
故選：C．
①根據旋轉的性質，可得AM=MC=A′M=MC′=1，根據等腰三角形的性質，可得∠MCA′，根據等邊三角形的判定，可得答案；
②根據垂線的性質：過直線外一點與已知直線垂直的直線只有一條，可得答案；
③根據等腰三角形的判定，可得答案
④根據平行四邊形的判定，可得四邊形AA′CC′是平行四邊形，再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可得答案；
⑤根據勾股定理可得BA的長，根據AB與AN的關系，可得AN的長，根據直角三角形的性質，可得答案．