Question

【題目】已知點(diǎn)A（1，0）、點(diǎn)B（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，且∠APB＝30°，則滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____．

Answer 1

【答案】(0，﹣2﹣)或(0，﹣2+)

【解析】

利用圓周角定理可判斷點(diǎn)A、B、P在以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑的圓上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，則CA＝CB＝AB＝4，⊙C交y軸于P和P′點(diǎn)，連接CP，如圖，作CD⊥AB于D，CE⊥y軸于E，根據(jù)垂徑定理得到得到AD＝DB＝2，PE＝P′E，所以CD＝2，OA＝3，再利用勾股定理計(jì)算出PE得到OP′和OP的長(zhǎng)，從而得到滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：∵∠APB＝30°，

∴點(diǎn)A、B、P在以C點(diǎn)為圓心，CA為半徑的圓上，且∠ACB＝2∠APB＝60°，

∴△ABC為等邊三角形，

∴CA＝CB＝AB＝4，

設(shè)⊙C交y軸于P和P′點(diǎn)，連接CP，如圖，

作CD⊥AB于D，CE⊥y軸于E，則AD＝DB＝2，PE＝P′E，

∵∠BOP=90°，

∴四邊形OECD是矩形，

∴OE=CD，OD=CE.

∵AD＝2，CA＝4，

∴CD＝2，OD＝OA+AD＝3，

在Rt△PCE中，PE＝=，

∵OE＝CD＝2，

∴OP′＝2﹣，OP＝2+，

∴P（0，﹣2﹣），P′（0，﹣2+），

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．

故答案為（0，﹣2﹣）或（0，﹣2+）．