Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，點P，Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t妙（t≥0）．

（1）若三角形CPQ是等腰三角形，求t的值．

（2）如圖②，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ；

①是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度．

②當t取何值時，△CPQ的外接圓面積的最��？并且說明此時△CPQ的外接圓與直線AB的位置關系？

Answer 1

【答案】（1）2（2）①不存在，②t=時，PQ最小值為，△CPQ的外接圓與直線AB相交

【解析】

試題分析：（1）根據CQ=CP，列出方程即可解決．

（2））①不存在．不妨設四邊形PDBQ是菱形，推出矛盾即可．

②如圖，⊙O是△PQC的外接圓的圓心，作OM⊥AB于M，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OB、OC、OA，由ACOF+ACOE+ABOM=BCAC求出OM以及圓的半徑即可解決問題．

試題解析：（1）∵△CBP是等腰三角形，∠C=90°，

∴CQ=CP，

∴6﹣t=2t，

∴t=2，

∴t=2秒時，△CBP是等腰三角形．

（2）①不存在．

理由：不妨設四邊形PDBQ是菱形，

則PD=BQ，

∴t=8﹣2t，

∴t=，

∴CQ=，PC=6﹣=，BQ=PD=，

∴OQ==6，

∴PQ≠BQ，

∴假設不成立，

∴不存在．

設點Q的速度為每秒a個單位長度．

∵四邊形PDBQ是菱形，

∴PD=BD，

∴t=10﹣t，

∴t=，

∴BQ=PD=，

∴6﹣a=，

∴a=．

∴點Q的速度為每秒個長度單位時，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形．

②如圖，⊙O是△PQC的外接圓的圓心，作OM⊥AB于M，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，連接OB、OC、OA．

∵PQ===，

∴t=時，PQ最小值為．

此時PC=，CQ=，PQ=，

∵ACOF+ACOE+ABOM=BCAC，

∴×8×+×6×+×10×OM=24，

∴OM=，

∴OM＜OP，

∴△CPQ的外接圓與直線AB相交．