Question

【題目】(本題7分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E為AC上一點，且AE=BC，過點A作AD⊥CA，垂足為A，且AD=AC，AB、DE交于點F.

（1）判斷線段AB與DE的數量關系和位置關系，并說明理由；

（2）連接BD、BE，若設BC=a，AC=b，AB=c，請利用四邊形ADBE的面積證明勾股定理．

Answer 1

【答案】（1）AB=DE，AB⊥DE.理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據垂直的定義可證得∠DAE=∠ACB=90°，然后根據ASA可證△ABC≌△DEA，從而得證AB=DE，且∠3=∠1，然后根據直角三角形的內角和等量代換可證得AB⊥DE；

（2）根據三角形的面積和四邊形的面積，可知S四邊形ADBE= S△ADE+ S△BDE，S四邊形ADBE=S△ABE+S△ADB=a2＋b2可得證符合勾股定理的逆定理．

試題解析：（1）解：AB=DE， AB⊥DE．

如圖2，∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°，

∵AE=BC，∠DAE=∠ACB，AD=AC，∴△ABC≌△DEA，∴AB=DE，

∠3=∠1，∵∠DAE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，

∴∠AFE=90°，∴AB⊥DE．

（2）如圖2，∵S四邊形ADBE= S△ADE+ S△BDE=DE·AF+DE·BF=DE·AB =c2，

S四邊形ADBE=S△ABE+S△ADB=a2＋b2，

∴a2＋b2=c2，∴a2＋b2=c2．