Question

12、如圖，Rt△ABC和Rt△CDE中，∠A=30°，∠E=45°，AB=CE，∠BCD=30°，FG⊥AB，下列結論：①CH=FH；②BC=GC；③四邊形BDEF為平行四邊形；④FH=GF+BH．其中正確的結論是（　　）

A、①②③

B、①②④

C、①③④

D、②③④

Answer 1

分析：在Rt△ACB中，由∠A為30°，得到∠ABC為60°，又∠BCD=30°，得到∠AHC為直角，再由Rt△CDE中，∠E=45°，得到∠ECD也為45°，故△FCH為等腰直角三角形，從而得到FH=CH，選項①正確；過G作GM于CD垂直，交CD于M，由三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形GMHF為矩形，根據矩形的對邊相等，得到GF=MH，GM=FH，等量代換得到GM=CH，由一對直角相等，再根據同角的余角相等得到一對角相等，利用“AAS”得到三角形CGM與三角形CBH全等，根據全等三角形的對應邊相等得到CG=CB，選項②正確；再根據剛才的全等得到GM=CH，由FH=CH=CM+MH，等量代換得到選項④正確；要使四邊形FBDE為平行四邊形，由一對直角即同位角相等，得到BF與DE平行，還要使EC與DB平行，故要使同旁內角互補，即要∠HBD為45°，而∠HBD不一定為45°，故選項⑤不一定成立，綜上，得到正確結論的選項．

解答：解：∵Rt△ABC中，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，又∠BCD=30°，
∴∠FHC=90°，
又Rt△CDE中，∠E=45°，
∴∠ECD=45°，
∴△FCH為等腰直角三角形，
∴FH=HC，故選項①正確；
過G作GM⊥CD，交CD于M，

∴∠GMD=90°，
∴∠GCM+∠CGM=90°，又∠ACB=90°
∴∠GCM+∠BCH=90°，
∴∠CGM=∠BCH，
∵∠FHM=90°（已證），又GF⊥AB，∴∠GFH=90°，
∴四邊形GMHF為矩形，
∴GM=FH，GF=MH，
又FH=CH，
∴GM=CH，
又∵∠GMC=∠CHB=90°，
∴△GCM≌△CBH（AAS），
∴CM=BH，BC=CG，故選項②正確；
∴FH=CH=CM+MH=BH+GF，故選項④正確；
∵∠AHC=∠EDC=90°，
∴FB∥ED，
要使四邊形BDEF為平行四邊形，還需BD∥EC，
即要∠FCB+∠CBD=180°，
而∠FCB=∠ECD+∠DCB=45°+30°=75°，
故要∠CBD=∠CBA+∠ABD=105°，又∠CBA=60°，
即要∠ABD=45°，而∠ABD不一定等于45°，
故選項③不一定成立，
則其中正確的結論有①②④．
故選B

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，以及平行四邊形的判定．本題屬于結論型開放題，此類問題往往是給出條件，去探索各種結論，解決此類問題常采用執因索果，逐步推理的方法．是近幾年中考的熱點題型．不僅發展了學生的發散性思維，而且開闊了視野，提高了學生的解題能力．作出輔助線GM構造全等三角形是本題的突破點．