Question

【題目】已知在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,點D為AB邊的中點,∠EDF=90°,△EDF繞點D旋轉,它的兩邊分別交AC,CB(或它們的延長線)于點E,F.當∠EDF繞點D旋轉到DE⊥AC于點E時(如圖①),易證S△DEF+S△CEF=S△ABC.

當∠EDF繞點D旋轉到DE和AC不垂直時,在圖②和圖③這兩種情況下,上述結論是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎樣的數量關系?請寫出你的猜想,不需證明.

Answer 1

【答案】在題中圖②的情況下成立.證明見解析；在題中圖③情況下不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC的關系是S△DEF-S△CEF=S△ABC.

【解析】試題分析：

（1）如圖，在圖②中過點D作DM⊥AC于點M，DN⊥BC于點N，證△DME≌△DNF即可知在圖②中，圖①中的結論仍然成立；

（2）如圖，在圖③中，連接CD，證△DCE≌△DBF即可得到S△DEF-S△CEF=S△ABC，由此可知圖③中，圖①中的結論不在成立，新的關系是：S△DEF-S△CEF=S△ABC；

試題解析：

（1）在圖②中，S△DEF+S△CEF=S△ABC.這一結論仍然成立，理由如下：

過點D作DM⊥AC于點M，DN⊥BC于點N，連接CD，

∴∠DME=∠DNF=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠MDN=360°-90°-90°-90°=90°，

又∵∠EDF=90°，

∴∠MDE+∠EDN=∠EDN+∠NDF=90°，

∴∠MDE=∠NDF，

∵△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB的中點，AC=BC，

∴CD=AD=BD，∠ADC=∠BDC=90°，

∵DM⊥AC于點M，DN⊥BC于點N，

∴DM=AC，DN=BC，

∴DM=DN，

∴△DME≌△DNF，

∴S四邊形DMCN=S四邊形DECF=S△DEF+S△CEF，

∵由①中結論可知，S△DEF+S△CEF=S△ABC，

∴在圖②中，①中結論仍然成立；

（2）在圖③中，①中結論不在成立，此時S△DEF-S△CEF=S△ABC，理由如下：

如圖③，連接CD，

∵在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB中點，AC=BC，

∴CD=BD，∠CDB=90°，∠ACD=∠ABC=45°，

∵∠EDF=90°，

∴∠CDE+∠EDB=∠EDB+∠BDF，

∴∠CDE=∠BDF，

∴△DCE≌△DBF，

∴S△DEF=S△DBF+S四邊形DBFE

=S△DEC+S四邊形DBFE

=S五邊形DBFEC

=S△CEF+S△DBC

=S△CEF+S△DBC

=S△CEF+S△ABC,

∴S△DEF-S△CEF=S△ABC,

∴圖③中，圖①中的結論不在成立，新的結論是：S△DEF-S△CEF=S△ABC.