Question

已知直角坐標系內有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1，這條曲線是函數的圖象在第一象限內的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（a，b），由點P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN（點M、N為垂足）分別與直線AB相交于點E和點F．
（1）設交點E和F都在線段AB上（如圖所示），分別求點E、點F的坐標（用a的代數式表示點E的坐標，用b的代數式表示點F的坐標，只須寫出答案，不要求寫出計算過程）．
（2）求△OEF的面積（結果用a、b的代數式表示）．
（3）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或者一定不相似，請簡要說明理由．
（4）當點P在曲線上移動時，△OEF隨之變動，指出在△OEF的三個內角中，大小始終保持不變的那個角和它的大小，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）根據題意設直線AB的解析式為y=mx+n，將A與B坐標代入得：，
解得：m=-1，n=1，
∴直線AB的解析式為y=-x+1，
將x=a代入解析式得：y=1-a；將y=b代入解析式得：x=1-b，
則點E的坐標是（a，1-a），點F的坐標是（1-b，b），
（2）當PM、PN與線段AB都相交時，如圖1，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=×1×1-×1×（1-a）-×1×（1-b）=，
當PM、PN中有一條與AB相交，另一條與BA延長線或AB延長線相交時，如圖2和圖3，
∴S_△EOF=S_△FOA+S_△AOE=×1×b+×1×（a-1）=，
∴S_△EOF=S_△FOB+S_△BOE=×1×（b-1）+×1×a=，
則S_△EOF=；
（3）△AOF和△BEO一定相似．
∵如圖1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=-=a，
AF=BA-BF=-=b，
∵點P是函數y=圖象上任意一點，
∴b=，即2ab=1，
∴a×b=1，即AF•BE=OB•OA，
∴=，
∴△AOF∽△BEO，
∵對圖2，圖3同理可證，
∴△AOF∽△BEO；
（4）當點P在曲線上移動時，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（3）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如圖1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
對圖2，圖3同理可證，
∴∠EOF=45°．
分析：（1）設直線AB解析式為y=mx+n，將A與B坐標代入求出m與n的值，確定出直線AB解析式，根據F縱坐標為b，E橫坐標為a，即可求出E與F的坐標；
（2）當PM、PN與線段AB都相交時，如圖1所示，三角形EOF的面積由三角形AOB的面積減去三角形AOE的面積減去三角形BOF的面積，求出即可；當PM、PN中有一條與AB相交，另一條與BA延長線或AB延長線相交時，如圖2和圖3，同理求出三角形EOF的面積；
（3）△AOF與△BOE一定相似，根據題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對應成比例即可；
（4）應用三角形內角和定理及內外角關系可求∠EOF=45°是一定值，即解．
點評：此題屬于反比例函數綜合題，難度中等，涉及的知識有：反比例函數的圖象和性質，待定系數法求一次函數解析式，矩形的性質，坐標與圖形性質，以及相似三角形性質判定，同學們只有熟練掌握這些知識點，才能正確的解答．