Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm, BC＝12cm.點P從點C處出發以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發以2cm/s向C點勻速移動，若一個點到達目的停止運動時，另一點也隨之停止運動.運動時間為t秒；

（1）用含有t的代數式表示BQ、CP的長；

（2）寫出t的取值范圍；

(3)用含有t的代數式 表示Rt△PCQ和四邊形APQB的面積；

(4)當P、Q處在什么位置時，四邊形PQBA的面積最小，并求這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）CP=t，BQ=2t；(2) 0≤t≤4；(3) Rt△PCQ的面積為=t(6t)， 四邊形APQB的面積=24t(6t)； (4)CP=3cm,BQ=6cm時面積最小,最小為15cm2.

【解析】試題分析：（1）有時間和速度，根據路程=時間×速度，即可得；

（2）根據題意2AC＜BC，找到P點到達A的時間極為t的最大值，即可得出答案．

（3）由∠C=90°，根據直角三角形的面積求法，可以直接的出Rt△PCQ的面積，有Rt△ABC的面積，兩者之差即可得出答案．

（4）根據（3）中的表達式，求其最小值即可．

試題解析：（1）CP=t，BQ=2t，

(2)∵點P從點C處出發以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發以2cm/s向C點勻速移動，

∴Q的速度是P的兩倍，

∵2AC<BC，

∴可知P先到達A點，

且t=4.

∵若一個點到達目的停止運動時，另一點也隨之停止運動，

∴t的取值范圍是：0≤t≤4；

(3)由(1)得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，

∴CQ=122t，

∴Rt△PCQ的面積為12×CQ×CP=12×(122t)×t=t(6t)，

∵Rt△ABC的面積為12×AC×BC=12×4×12=24，

∴四邊形APQB的面積=Rt△ABC的面積Rt△PCQ的面積=24t(6t)；

(4)由(3)得四邊形APQB的面積為24t(6t)，

變形為t26t+24=(t3)2+15，

根據二次函數的性質可知,當t=3時，取得最小值，解為15.

即CP=3cm,BQ=6cm時面積最小,最小為15cm2.