Question

【題目】綜合與探究：

在平面直角坐標系中，已知點，點是軸上的一個動點．

自主探究：

（1）點到軸的距離是_______，到原點的距離是 ．

（2）點關于軸的對稱點坐標為________，關于原點的對稱點的坐標為 ．

探索發現：

（3）當取何值時，是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）1，；（2），；（3）的值為或或或．

【解析】

(1)根據坐標與圖形性質得到點P到x軸的距離，根據勾股定理求出點P到原點的距離；

(2)根據坐標關于y軸以及原點對稱的特點即可得出點P的對稱點的坐標；

(3)因為，當，，時，分三種情況分別討論即可求得答案．

(1)點P的坐標為(-2，-1)，
點P到x軸的距離為：，
到原點的距離為：，

故答案為：1，；

(2)關于y軸對稱，縱坐標不變，橫坐標為相反數，

∴點P(-2，-1)關于y軸的對稱點的坐標為(2，-1)，

關于原點對稱，橫、縱坐標都為其相反數，

∴點P關于原點的對稱點的坐標為(2，1)，

故答案為：(2，-1)，(2，1)；

(3)∵，

①當時，為等腰三角形，，

若動點在原點左側，則有；

若動點在原點右側，則有；

②如圖1，當時， 為等腰三角形，過點作軸于點，

則點與點關于直線對稱，則有；

③如圖2，當時，為等腰三角形，過點作軸于點，

則，

在中，，即，

解得:，

∴ ．

綜上所述，當的值取或或或時，為等腰三角形．