Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M、N，一個高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移．

（1）在平移過程中，得到△A₁B₁C₁，此時頂點(diǎn)A₁恰落在直線l上，寫出A₁點(diǎn)的坐標(biāo)　   　；
（2）繼續(xù)向右平移，得到△A₂B₂C₂，此時它的外心P恰好落在直線l上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在這樣的點(diǎn)，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點(diǎn)能同時構(gòu)成三個等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）（，3）。
（2）P（3，1）。
（3）存在四個點(diǎn)，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點(diǎn)能同時構(gòu)成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。

試題分析：（1）∵等邊三角形ABC的高為3，∴A₁點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3。
∵頂點(diǎn)A₁恰落在直線l上，∴，解得；x=。
∴A₁點(diǎn)的坐標(biāo)是（，3）。
（2）設(shè)P（x，y），連接A₂P并延長交x軸于點(diǎn)H，連接B₂P，先求出A₂B₂=2，HB₂=，根據(jù)點(diǎn)P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，得出PH=1，將y=1代入，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
設(shè)P（x，y），連接A₂P并延長交x軸于點(diǎn)H，連接B₂P，
在等邊三角△A₂B₂C₂中，高A₂H=3，
∴A₂B₂=2，HB₂=。
∵點(diǎn)P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，
∴∠PB₂H=30°。
∴PH=1，即y=1。
將y=1代入，解得：x=3。
∴P（3，1）。
（3）分四種情況分別討論。
∵點(diǎn)P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，
∴△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，
∴點(diǎn)P滿足的條件，由（2）得P（3，1）。

由（2）得，C₂（4，0），點(diǎn)C₂滿足直線的關(guān)系式，∴點(diǎn)C₂與點(diǎn)M重合。
∴∠PMB₂=30°。
設(shè)點(diǎn)Q滿足的條件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能構(gòu)成等腰三角形，
此時QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂。
作QD⊥x軸與點(diǎn)D，連接QB₂，
∵QB₂=2，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，∴QD=3，∴Q（，3）。
設(shè)點(diǎn)S滿足的條件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂PA₂是等腰三角形，
此時SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S。
作SF⊥x軸于點(diǎn)F，
∵SC₂=2，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，∴SF=。∴S（4﹣3，）。
設(shè)點(diǎn)R滿足的條件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能構(gòu)成等腰三角形，
此時RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R。
作RE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵RC₂=2，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，∴ER=。∴R（4+3，﹣）。
綜上所述，存在四個點(diǎn)，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點(diǎn)能同時構(gòu)成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。