Question

11、若a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一個排列（n是奇數），則（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是偶數．

Answer 1

分析：由a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一個排列（n是奇數），可得a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n，（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）=0是偶數，根據奇數個數的和為偶數，則其中必至少有一個是偶數的性質即可證明．

解答：證明：∵a₁，a₂，…，a_n是1，2，…，n的任意一個排列（n是奇數），
∴a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n，
∴（a₁-1）+（a₂-2）+…+（a_n-n）=0是偶數，
∴（a₁-1），（a₂-2），…，（a_n-n）中必至少有一個是偶數，
∴（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是偶數，
即證之．

點評：本題考查了整數的奇偶性問題，難度一般，關鍵是掌握奇數個數的和為偶數，則其中必至少有一個是偶數．