Question

如圖：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點D，連結AD并延長，與BC相交于點E。

（1）若BC＝，CD＝1，求⊙O的半徑；              
（2）取BE的中點F，連結DF，求證：DF是⊙O的切線

Answer 1

（1）解：∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線∴AB⊥BC，               
設⊙O的半徑為，在Rt△OBC中，∵
∴，解得＝1，∴⊙O的半徑為1                  
（2）連結OF，∵OA＝OB，BF＝EF，∴OF∥AE，∠A＝∠2
又∵∠BOD＝2∠A，∴∠1＝∠2，
又∵OB＝OD、OF＝OF∴△OBF≌△ODF，
∴∠ODF＝∠OBF＝90⁰，即OD⊥DF，∴FD是⊙O的切線。

（1）先設⊙O的半徑為r，由于AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，根據切線性質可知AB⊥BC，在Rt△OBC中，利用勾股定理可得，解得r=1；
（2）連接OF，由于OA=OB，BF=EF，可知OF是△BAE的中位線，那么OF∥AE，于是∠A=∠2，根據三角形外角性質可得∠BOD=2∠A，易證∠1=∠2，而OD=OB，OF=OF，利用SAS可證△OBF≌△ODF，那么∠ODF=∠OBF=90°，于是OD⊥DF，從而可證FD是⊙O的切線．