Question

【題目】已知函數與x軸、y軸分別交于A、B兩點，C點坐標是（0，2），連接AC．

（1）直接寫出A、B兩點的坐標：A（______，_____）、B（_____，_____）；

（2）在AB上找一點P，當PC+PO最小時，在AC上找一點Q使得PQ+最小，求Q點坐標；

（3）在（2）的條件下，平面內能否找到一點K，使得點A、C、P、K構成的四邊形是平行四邊形，若能，直接寫出K點坐標，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（，0），（0，6）；（2）Q（）；（3）能，K（，）或K（，）或K（，）．

【解析】

（1）在一次函數解析式中，分別令y=0和x=0即可求出A、B的坐標；

（2）作點O關于AB的對稱點O′，連接C O′與AB交于P點，則P點即為使得CP+OP最小的點．過O′作O′D⊥x軸．可求出 O′的坐標，O′C的解析式．由得P的坐標．過Q作QH⊥x軸于H，與AC交于Q點．由含30°直角三角形的性質可得QH=AQ，即可得到當PH⊥x軸時與AC交點Q即為所求，即可得出點Q的坐標；

（3）設K（x，y），點A、C、P、K構成的四邊形是平行四邊形，分三種情況討論：

①若AK，CP是對角線；②若AP，CK是對角線；③若AC，KP是對角線，；分別利用平行四邊形對角線的交點平分對角線和中點坐標公式即可得出點K的坐標．

（1）在中，令y=0，解得：x=，令x=0，解得：y=6，∴A（，0），B（0，6）；

（2）作點O關于AB的對稱點O′，連接C O′與AB交于P點，則P點即為使得CP+OP最小的點．過O′作O′D⊥x軸．

∵OA=，OB=6，∴AB=，∴∠ABO=30，∠BAO=60，∴O′A=OA=，∠O′AB=∠OAB=60 ∴∠O'AD=60°，∴∠AO'D=30°，∴O′D=3，AD=，∴ O′（，3），易求O′C解析式為：．

由得P（，）．

過Q作QH⊥x軸于H，與AC交于Q點．

∵OC=2，OA=，∴∠CAO=30，∴QH=AQ，∴當PH⊥x軸時與AC交點Q即為所求．

易求直線AC的解析式為，把x=代入，得y=，∴Q（）．

（3）設K（x，y）．

∵P（，），A（，0），C（0，2），點A、C、P、K構成的四邊形是平行四邊形，∴分三種情況討論：

①若AK，CP是對角線，則 ，，解得：x=，y=，∴ K（，）；

②若AP，CK是對角線，則 ，，解得：x=，y=，∴ K（，）；

③若AC，KP是對角線，則 ，，解得：x=，y=，∴ K（，）；

綜上所述：K（，）或K（，）或K（，）．