Question

【題目】已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊所在的直線交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP<PD）
（1）如圖1，若點F在CD邊上（不與D重合），將∠DPF繞點P逆時針旋轉90°后，角的兩邊PD、PF分別交射線DA于點H、G．
①求證：PG=PF；

②探究：DF、DG、DP之間有怎樣的數量關系，并證明你的結論．
（2）拓展：如圖2，若點F在CD的延長線上（不與D重合），過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G，你認為（1）中DE、DG、DP之間的數量關系是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請寫出它們所滿足的數量關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②DG+DF=DP；（2）不成立，數量關系式應為：DG-DF=DP

【解析】

（1）①根據矩形性質證△HPG≌△DPF（ASA），得PG=PF；②由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，根據直角三角形性質可得HD=DP；（2）過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，得到△HPD為等腰直角三角形，證△HPG≌△DPF，得HG=DF，DH=DG-HG=DG-DF，DG-DF=DP．

（1）①∵由矩形性質得∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠PDF=∠ADP=45°，
∴△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠PDF=45°，
在△HPG和△DPF中，
∵，
∴△HPG≌△DPF（ASA），
∴PG=PF；
②結論：DG+DF=DP，
由①知，△HPD為等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，
∴HD=DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG，
∴DG+DF=DP；
（2）不成立，數量關系式應為：DG-DF=DP，
如圖，過點P作PH⊥PD交射線DA于點H，

∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°，
∴∠GPH=∠FPD，
∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD為等腰直角三角形，
∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，
∴∠GHP=∠FDP=180°-45°=135°，
在△HPG和△DPF中，
∵
∴△HPG≌△DPF，
∴HG=DF，
∴DH=DG-HG=DG-DF，
∴DG-DF=DP．