Question

如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD∥BC，交AB于點D，連接PQ，點P、Q分別從點A、C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）。
（1）直接用含t的代數式分別表示：QB＝______，PD＝______；
（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；
（3）如圖②，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經過的路徑長。

Answer 1

解：（1） QB＝8-2t，PD＝t； （2）不存在．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10， ∵ PD∥BC， ∴△APD∽△ACB， ∴，即：， ∴AD=t， ∴BD＝AB-AD＝10-t， ∵ BQ∥DP， ∴當BQ＝DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即8-2t＝t，解得：， 當t＝時，PD=，BD＝10-， ∴DP≠BD， ∴□PDBQ不能為菱形， 設點Q的速度為每秒v個單位長度，則BQ＝8-vt，PD＝t，BD＝10-t， 要使四邊形PDBQ為菱形，則PD＝BD＝BQ， 當PD＝BD時，即， 解得：t=， 當PD＝BQ時，t＝時，即，解得：v=；  （3）如圖2，以C為原點，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系， 依題意，可知0≤t≤4，當t＝0時，點M1的坐標為（3，0）； 當t＝4時，點M2的坐標為（1，4），設直線M1M2的解析式為y＝kx＋b， ∴， 解得：， ∴直線M1M2的解析式為y＝-2x＋6， ∵ 點Q（0，2t），P（6-t，0）， ∴在運動過程中，線段PQ中點M3的坐標為（，t）， 把x＝，代入y＝-2x＋6，得y＝-2×＋6＝t， ∴點M3在直線上， 過點M2作M2N⊥x軸于點N，則M2N＝4，M1N＝2， ∴M1M2＝2， ∴線段PQ中點M所經過的路徑長為2單位長度。