Question

【題目】如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6，AE= ，求⊙O的半徑；
（3）在第（2）小題的條件下，則圖中陰影部分的面積為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AD平分∠CAM，∠OAD=∠DAE，

∴∠ODA=∠DAE，

∴DO∥MN，

∵DE⊥MN，

∴DE⊥OD，

∵D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=2 ，

∴AD= = =4 ，

連接CD，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=∠AED=90°，

∵∠CAD=∠DAE，

∴△ACD∽△ADE，

∴ ，

∴ ，

∴AC=8 ，

∴⊙O的半徑是4 ；

（3）解：8π﹣12
【解析】解：（3）過點O作OF⊥AB于F，
∵cos∠DAE= ，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB= = ，
∴AF=2 ，
∴OF=6，
∴S陰影=S扇形﹣S△OAB=8π﹣12 ．

【考點精析】掌握勾股定理的概念和切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．