Question

已知：在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、C分別在y軸、x軸上，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如圖1，當A（0，-2），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標為

（3，-1），

；
（2）如圖2，當點C在x軸正半軸上運動，點A在y軸正半軸上運動，點B在第四象限時，作BD⊥y軸于點D，試判斷

OC+BD

OA

與

OC-BD

OA

哪一個是定值，并說明定值是多少？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）過B作BE⊥x軸于E，推出∠2=∠OAC，∠AOC=∠BEC，根據AAS證△AOC≌△CEB，推出OA=CE，OC=BE，根據A、C的坐標即可求出答案；
（2）作BE⊥x軸于E，得出矩形OEBD，推出BD=OE，證△CEB≌△AOC，推出AO=CE，求出OC-BD=OA，代入求出即可．

解答：（1）解：過B作BE⊥x軸于E，
則∠BEC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠OAC=90°，
∴∠2=∠OAC，
在△AOC和△CEB中
∵

∠AOC=∠CEB ∠OAC=∠2 AC=BC

，
∴△AOC≌△CEB（AAS），
∴OA=CE，OC=BE，
∵A（0，-2），C（1，0），
∴OA=CE=2，OC=BE=1，
∴OE=1+2=3，
∴點B的坐標為（  3，-1 ）；

（2）結論：

OC-BD

OA

=1，
證明：作BE⊥x軸于E，
∴∠1=90°=∠2，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠5+∠3=90°，
∴∠5=∠4，
在△CEB和△AOC中，
∵

∠1=∠2 ∠4=∠5 CB=AC

∴△CEB≌△AOC，
∴AO=CE，
∵BE⊥x軸于E，
∴BE∥y軸，
∵BD⊥y軸于點D，EO⊥y軸于點O，
∴BD∥OE，
∴四邊形OEBD是矩形，
∴EO=BD，
∴OC-BD=OC-EO=CE=AO，
∴

OC-BD

OA

=1．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，坐標與圖形性質，等腰直角三角形性質，主要考查學生運用定理進行推理和計算，題目比較好．