Question

如圖，已知拋物線y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

（b是實數且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．若在第一象限內存在點P，使得四邊形PCOB的面積等于7

2

b，且△PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形．求：
（1）點A的坐標為______．
（2）求符合要求的點P坐標為______．

Answer 1

（1）對于y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

，
令y=0，得到

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

=0，即x²-（b+1）x+b=0，
分解因式得：（x-1）（x-b）=0，
解得：x=1或x=b，
∵A在B的左邊，
∴A（1，0），B（b，0）；
（2）過P作PE⊥x軸，過C作CD⊥PE，
對于y=

1

6

x²-

1

6

（b+1）x+

b

6

，
令x=0，得到y=

b

6

，即OC=

b

6

，
∵△BCP為等腰直角三角形，
∴PC=PB，∠CPB=90°，
∴∠CPD+∠BPE=90°，
∵∠CPD+∠PCD=90°，
∴∠BPE=∠PCD，
在△CDP和△PEB中，

∠PDC=∠BEP=90° ∠PCD=∠BPE PC=PB

，
∴△CDP≌△PEB（AAS），
∴CD=PE，
設P（x，x），則有CD=PE=x，
∵S_{四邊形OCPB}=S_梯形OCPE+S_△PEB=

1

2

x（

b

6

+x）+

1

2

x（b-x）=7

2

b，
整理得：7x=84

2

，
解得：x=12

2

，
則P（12

2

，12

2

）．
故答案為：（1）A（1，0）；（2）P（12

2

，12

2

）