Question

某市政府大力扶持大學生創業，李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：y=-10x+500．
（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？
（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？
（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本=進價×銷售量）

Answer 1

（1）由題意，得：w=（x-20）•y，
=（x-20）•（-10x+500）=-10x²+700x-10000，
x=-

b

2a

=35，
答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤．

（2）由題意，得：-10x²+700x-10000=2000，
解這個方程得：x₁=30，x₂=40，
答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元．

（3）∵a=-10＜0，
∴拋物線開口向下，
∴當30≤x≤40時，w≥2000，
∵x≤32，
∴當30≤x≤32時，w≥2000，
設成本為P（元），由題意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000，
∵a=-200＜0，
∴P隨x的增大而減小，
∴當x=32時，P_最小=3600，
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．