Question

23、如圖1，矩形ABCD中，BC=2AB，M為AD的中點，連接BM．
（1）請你判斷并寫出∠BMD是∠ABM的幾倍；
（2）如圖2，在?ABCD中，BC=2AB，M為AD的中點，CE⊥AB，連接EM、CM，請問：∠AEM與∠DME是否也具有（1）中的倍數關系？若有，請證明；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據AM=AB可得出∠AMB=∠ABM=45°，從而可判斷出∠BMD是∠ABM的幾倍．
（2）延長EM、CD交于點F，先證△AEM≌△DFM，從而根據全等三角形的性質可證得AB∥CD，繼而結合題意可證得結論．

解答：解：（1）∵AM=AB，
∴∠AMB=∠ABM=45°，
∴∠BMD=135°．
∴∠BMD=3∠ABM．
（2）證明：延長EM、CD交于點F．
∵AB∥CF
∴∠AEM=∠DFM．
又∵AM=DM，∠AME=∠FMD，
∴△AEM≌△DFM．
∴∠AEM=∠F，EM=FM．
∵四邊形ABCD中平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠ECD．
∵CE⊥AB，
∴∠BEC=90°．
∴∠ECD=90°．
∴MC=MF．
∴∠MCF=∠F，
∴∠EMC=2∠F=2∠AEM．
又∵DM=CD，
∴∠DMC=∠MCF=∠F=∠AEM．
∴∠EMD=3∠AEM．

點評：本題考查了矩形的性質及全等三角形的判定，難度一般，解答本題的關鍵是熟練掌握矩形的性質及三角形全等的判定定理．