Question

已知拋物線y=-

1

2

x²+bx+4上有不同的兩點E（k+3，0）和F（-k-1，0）．
（1）求拋物線的解析式．
（2）如圖，拋物線y=-

1

2

x²+bx+4與x軸和y軸的正半軸分別交于點A和B，M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以M為中心旋轉，且∠PMQ=45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D．設AD的長為m（m＞0），BC的長為n，求n和m之間的函數關系式．
（3）當k＞0且∠PMQ的邊過點F時，求m、n的值．

Answer 1

（1）拋物線y=-

1

2

x2+bx+4的對稱軸為x=-

b

2×(- 1 2 )

=b．　
∵拋物線上不同兩個點E（k+3，0）和F（-k-1，0）的縱坐標相同，
∴點E和點F關于拋物線對稱軸對稱，則　b=

(k+3)+(-k-1)

2

=1，且k≠-2．
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+x+4．　
　　　　　　　　　　
（2）∵拋物線y=-

1

2

x2+x+4與x軸的交點為A（4，0），與y軸的交點為B（0，4），
∴AB=4

2

，AM=BM=2

2

．　　　　　　　　　　　　　　　　
在∠PMQ繞點M在AB同側旋轉過程中，∠MBC=∠DAM=∠PMQ=45°，
在△BCM中，∠BMC+∠BCM+∠MBC=180°，即∠BMC+∠BCM=135°，
在直線AB上，∠BMC+∠PMQ+∠AMD=180°，即∠BMC+∠AMD=135°．
∴∠BCM=∠AMD．
故△BCM∽△AMD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴

BC

AM

=

BM

AD

，
即　

n

2 2

=

2 2

m

，
n=

8

m

．
故n和m之間的函數關系式為n=

8

m

（m＞0）．　　
　　　　　　　
（3）∵F（-k-1，0）在y=-

1

2

x2+x+4上，
∴-

1

2

(-k-1)2+(-k-1)+4=-k2+1，
化簡得，k²-4k+3=0，
∴k₁=1，k₂=3．　　　　
∵k＞0，
∴F（-2，0）或（-4，0）．　　　　　　　　　　　　
①當MF過M（2，2）和F（-2，0），設MF為y=kx+b，
則　

2k+b=2 -2k+b=0.

解得，

k= 1 2 b=1.

∴直線MF的解析式為y=

1

2

x+1．
直線MF與x軸交點為（-2，0），與y軸交點為（0，1）．
若MP過點F（-2，0），則n=4-1=3，m=

8

3

；
若MQ過點F（-2，0），則m=4-（-2）=6，n=

4

3

．　　
②MF過M（2，2）和F₁（-4，-8），設MF為y=kx+b，
則

2k+b=2 -4k+b=-8

，
解得

k= 5 3 b=- 4 3

；
∴直線MF的解析式為 y=

5

3

x-

4

3

；
直線MF與x軸交點為（

4

5

，0），與y軸交點為（0，-

4

3

）；
若MP過點F（-4，-8），則n=4-（-

4

3

）=

16

3

，m=

3

2

；
若MQ過點F（-4，-8），則m=4-

4

5

=

16

5

，n=

5

2

；
故當

m1= 8 3 n1=3

，

m2=6 n2= 4 3

，

m3= 3 2 n3= 16 3

，

m4= 16 5 n4= 5 2

時，∠PMQ的邊過點F．