Question

（2009•邵陽）如圖，直線l的解析式為y=-x+4，它與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線m從原點O出發，沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動，它與x軸、y軸分別相交于M、N兩點，運動時間為t秒（0＜t≤4）
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）用含t的代數式表示△MON的面積S₁；
（3）以MN為對角線作矩形OMPN，記△MPN和△OAB重合部分的面積為S₂；
①當2＜t≤4時，試探究S₂與之間的函數關系；
②在直線m的運動過程中，當t為何值時，S₂為△OAB的面積的？

Answer 1

【答案】分析：（1）在解析式y=-x+4中，分別令y=0，x=0就可以求出與x，y軸的交點坐標；
（2）根據MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出，用OM表示出來；
（3）根據t的不同值，所對應的陰影部分的圖形形狀不同，因而應分2＜t≤4和當0＜t≤2兩種個情況進行討論．
解答：解：（1）當x=0時，y=4；當y=0時，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，，
∴OM=ON=t，
∴S₁=OM•ON=t²；
（3）①當2＜t≤4時，易知點P在△OAB的外面，則點P的坐標為（t，t）．
理由：當t=2時，OM=2，ON=2，OP=MN==2，
直角三角形AOB中，設AB邊上的高為h，
易得AB=4，則×4h=4×4×，
解得h=2，
故t=2時，點P在l上，
2＜t≤4時，點P在△OAB的外面．
F點的坐標滿足，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），則PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S₂=S_△MPN-S_△PEF=S_△OMN-S_△PEF，
=t²-PE•PF=t²-（2t-4）（2t-4）=-t²+8t-8；
②當0＜t≤2時，S₂=t²，t²=，
解得t₁=-＜0，t₂=＞2，兩個都不合題意，舍去；
當2＜t≤4時，S₂=-t²+8t-8=，
解得t₃=3，t₄=，
綜上得，當t=或t=3時，S₂為△OAB的面積的．
點評：本題主要考查了函數圖象與坐標軸的交點的求法，以及利用三角形的相似的性質．是一個難度較大的綜合題．