Question

27、某商場經營一批進價為2元一件的小商品，在市場營銷中發現下商品的日銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下關系：

x	3	5	9	11
y	18	14	6	2

（1）在所給的直角坐標系①中
1）根據表中提供的數據描出實數對（x，y）的對應點；
2）猜測并確定日銷售量y件與日銷售單價x元之間的函數關系式，并畫出圖象．
（2）設經營此商品的日銷售利潤（不考慮其他因素）為P元，根據日銷售規律：
1）試求日銷售利潤P元與日銷售單價x元之間的函數關系式，并求出日銷售單價x為多少時，才能獲得最大日銷售利潤．試問日銷售利潤P是否存在最小值？若有，試求出，若無，請說明理由．
2）在給定的直角坐標系（圖2）中，畫出日銷售利潤P元與日銷售單價x元之間的函數圖象的簡圖．觀察圖象，寫出x與P的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所描點及趨勢，猜測是一次函數，由其中兩點可求函數關系式，然后把其它點代入驗證得結論；
（2）日銷售利潤=日銷量×每件利潤．根據函數關系式運用函數性質結合自變量的取值范圍和實際情況求解．

解答：解：（1）
①描點．
②猜測它是一次函數y=kx+b．
由兩點（3，18）、（5，14）代入上式
解方程組可得k=-2，b=24，
則有y=-2x+24．把（9，6）、（11，2）代入知同樣滿足，
∴所求為y=-2x+24．
由實際意義知所求應為y=-2x+24 （0≤x＜12）和y=0 （x≥12）
（2）①因為銷售利潤=售價-進價，
則P=xy-2y=y（x-2）=（24-2x）（x-2）=-2x²+28x-48=-2（x-7）²+50
當x=7時，日銷售利潤獲得最大值為50元；
當x＞12時，即售價大于12元時，
此時無人購買，所以此時利潤P=0 （x≥12）．
由實際意義知，當銷售價x=0時，即虧本賣出，此時利潤P=-48，即為最小值．

②根據實際意義，有0≤x＜2時，虧本賣出；
當x=2或x=12時，利潤P=0；當x＞12時，即高價賣出無人購買P=0．
故作出如上圖象．由圖象知：x≥0，-48≤P≤50．

點評：（1）猜測求解后需驗證．（2）結合圖象及實際意義回答問題．