Question

利用三角形內角和，探究四邊形內角和：
如圖，∠A、∠B、∠C、∠D是四邊形的四個內角，連接AC，因為

 

，所以

 

，即四邊形內角和為

 

．
利用上述結論解題：四邊形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．
（1）如圖1，若∠B=∠C，試求出∠C的度數；
（2）如圖2，若∠ABC的角平分線BE交DC于點E，且BE∥AD，試求出∠C的度數；
（3）如圖3，若∠ABC和∠BCD的角平分線交于點E，試求出∠BEC的度數．

Answer 1

分析：探究：從三角形的內角和考慮；
（1）根據四邊形的內角和等于360°列式即可求解；
（2）先根據平行線的性質求出∠ABE與∠BED的度數，再根據角平分線的定義求出∠EBC的度數，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求解即可；
（3）先根據四邊形的內角和等于360°求出∠ABC+∠BCD的度數，再根據角平分線的定義求出

1

2

（∠ABC+∠BCD）的度數，然后利用三角形的內角和定理列式即可求出∠BEC的度數．

解答：解：探究：∵△ABC與△ACD的內角和都是180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
即四邊形內角和為360°；

（1）∵∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C，
∴140°+80°+2∠C=360°，
解得∠C=70°；

（2）∵∠A=140°，∠D=80°，BE∥AD，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
∠BED=180°-∠D=180°-80°=100°，
∵BE是∠ABC的角平分線，
∴∠EBC=∠ABE=40°，
在△BEC中，∠C=∠BED-∠EBC=100°-40°=60°；

（3）∵∠A=140°，∠D=80°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-（140°+80°）=140°，
∵BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，
∴∠EBC+∠ECB=

1

2

（∠ABC+∠BCD）=

1

2

×140°=70°，
在△BEC中，∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB）=180°-70°=110°．

點評：本題考查了多邊形的內角和公式的求解原理，平行線的性質以及三角形的內角和定理，角平分線的定義，仔細分析圖形是解題的關鍵．