Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合）．在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于H，AD與BC交于P，BE與CD交于Q，連接PQ、CH．給出以下五個結論：①AD=BE，②PQ∥AE，③AP=BQ，④DE=DP，⑤∠AHB=60°，⑥HC平分∠AHE，⑦△CDP≌△CEQ．其中正確結論的個數是（　　）

• A、4個
• B、5個
• C、6個
• D、7個

Answer 1

分析：證明①可先證明△ACD≌△BCE，已有：AB=BC，CD=CE，易得∠ACD=∠BCE，其他的證明需要通過①得到，再利用三角形相似以及等邊三角形的知識分別進行證明即可得出答案．

解答：解：①∵△ABC和△CDE為等邊三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故①正確；
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，進而可求證△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，故③正確；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE②成立，
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE=DP錯誤；
∵等邊△ABC、等邊△DCE，
∴∠ACB=∠CED，即BC∥DE，
同理可證AB∥CD，
即可得△BAE∽△QCE，△APC∽△ADE，
∴

PC

DE

=

AC

AE

，

CQ

AB

=

CE

AE

，
∵BA=CA，DE=CE，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°，
∴△PCQ為等邊三角形，
∵PC=CQ，CD=CE，∠PCD=∠QCE，
∴△CDP≌△CEQ．故⑦△CDP≌△CEQ，正確；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AHB=∠HAE+∠AEH=60°，故⑤正確；
同理可得出∠AHE=120°，∠HAC=∠HCD，
∴∠DCE=∠AHC=60°，
∴HC平分∠AHE，故⑥正確，
故正確的有①②③⑤⑥⑦共6個，
故選：C．

點評：此題主要考查了等邊三角形的性質及三角形全的判定與性質以及相似三角形的判定與性質；熟練應用三角形全等的證明是正確解答本題的關鍵．