Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A（﹣1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D．

（1）拋物線及直線AC的函數關系式；

（2）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）能，（0，1）、（，）或（，）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式、一次函數解析式；

（2）需要分類討論：①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3）和②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），然后利用二次函數圖象上點的坐標特征可以求得點E的坐標；

（3）過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖1．設Q（x，x+1），則P（x，-x2+2x+3）．根據兩點間的距離公式可以求得線段PQ=-x2+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S△APC=-（x-）2+，所以由二次函數的最值的求法可知△APC的面積的最大值.

試題解析：（1）由拋物線y=-x2+bx+c過點A（-1，0）及C（2，3）得，

，

解得，

故拋物線為y=-x2+2x+3

又設直線為y=kx+n過點A（-1，0）及C（2，3）得

，

解得

故直線AC為y=x+1；

（2）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），

∵點E在直線AC上，

設E（x，x+1），

①如圖2，當點E在線段AC上時，點F在點E上方，

則F（x，x+3），

∵F在拋物線上，

∴x+3=-x2+2x+3，

解得，x=0或x=1（舍去）

∴E（0，1）；

②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，

則F（x，x-1）

由F在拋物線上

∴x-1=-x2+2x+3

解得x=或x=

∴E（，）或（，）

綜上，滿足條件的點E的坐標為（0，1）、（，）或（，）；

（3）如圖3，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，設Q（x，x+1），則P（x，-x2+2x+3）

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）=-x2+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ

=PQ AG

=（-x2+x+2）×3

=-（x-）2+

∴面積的最大值為．