Question

已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程：
方程：　 ①
方程：　　 ②
（1）若方程①、②都有實(shí)數(shù)根，求k的最小整數(shù)值；
（2）若方程①和②中只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根；則方程①，②中沒(méi)有實(shí)數(shù)根的方程是______（填方程的序號(hào)），并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若k為正整數(shù)，解出有實(shí)數(shù)根的方程的根．

Answer 1

解：（1）∵△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+）=4k-25≥0，
∴k≥，
∵△₂=（k+2）²-4（2k+）≥0，
∴k²-4k-5≥0，（k-5）（k+1）≥0，
∴k≥5或k≤-1，
∴k≥，
∴k的最小整數(shù)值為7；

（2）當(dāng)方程①有實(shí)數(shù)根，k≥，則方程②有實(shí)數(shù)根；
∵方程①和②中只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)方程②有實(shí)數(shù)根，方程①不一定實(shí)數(shù)根；
故答案為①；

（3）∵k為正整數(shù)，
且5≤k＜，
∴k=5或6，
當(dāng)k=5時(shí)，方程②變形為x²-7x+=0，即（x-）²=0，
∴x₁=x₂=；
當(dāng)k=6，方程②變形為x²-8x+=0，
△=64-4×=7，
∴x=
∴x₁=，x₂=．
分析：（1）根據(jù)判別式的意義得到△₁=（2k-1）²-4（k²-2k+）=4k-25≥0，則有k≥；△₂=（k+2）²-4（2k+）≥0，則k≥5或k≤-1，由于方程①、②都有實(shí)數(shù)根，于是有k≥，則k的最小整數(shù)值為7；
（2）當(dāng)k≥5或k≤-1時(shí)，方程②有實(shí)數(shù)根，此時(shí)不一定滿足k≥，則若方程①和②中只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根；則方程①和②中只有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，只有方程②有實(shí)數(shù)根，方程①不一定實(shí)數(shù)根；
（3）由于方程②有實(shí)數(shù)根，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，則5≤k＜，得到k=5或6，然后把它們分別代入方程，利用因式分解法或求根公式法解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了解一元二次方程．