Question

如圖，已知拋物線經過坐標原點，與x軸的另一個交點為A，且頂點M坐標為（1，2），
（1）求該拋物線的解析式；
（2）現將它向右平移m（m＞0）個單位，所得拋物線與x軸交于C、D兩點，與原拋物線交于點P，△CDP的面積為S，求S關于m的關系式；
（3）當m=2時，點Q為平移后的拋物線的一動點，是否存在這樣的⊙Q，使得⊙Q與兩坐標軸都相切？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點式解析式設出拋物線解析式，然后把原點坐標代入進行計算即可得解；
（2）根據平移規律，先寫出平移后的解析式的頂點坐標，然后寫出平移后的拋物線解析式，與原拋物線解析式聯立求解即可得到點P的坐標，根據拋物線的對稱性求出OA的長度，然后根據平移的性質得到CD的長度，最后分①0＜m＜2時，點P在第一象限，②m＞2時，點P在第四象限，分別利用三角形的面積公式列式整理即可得解；
（3）假設存在點Q，根據拋物線的解析式設出點Q的坐標，然后根據點Q到x軸與y軸的距離相等解方程即可．

解答：解：（1）∵拋物線頂點坐標為（1，2），
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）²+2，
又∵拋物線經過原點，
∴a（0-1）²+2=0，
解得a=-2，
∴拋物線的解析式為y=-2（x-1）²+2；

（2）拋物線向右平移m個單位，則頂點坐標為（1+m，2），
∴平移后的拋物線解析式為y=-2（x-1-m）²+2，
與原拋物線解析式聯立得，

y=-2(x-1)2+2 y=-2(x-1-m)2+2

，
解得

x= m 2 +1 y=- m2 2 +2

，
又∵原拋物線的頂點坐標為（1，2），
∴點A、O關于直線x=1對稱，
∴點A的坐標為（2，0），
∴AO=2，
∴CD=AO=2，
①0＜m＜2時，點P在第一象限，
S=

1

2

×2×（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2，
②m＞2時，點P在第四象限，
S=

1

2

×2×[-（-

1

2

m²+2）]=

1

2

m²-2；
綜上所述，S關于m的關系式為S=

- 1 2 m2+2(0＜m＜2)  1 2 m2-2(m＞2)

；

（3）根據（2），當m=2時，平移后的拋物線解析式為y=-2（x-1-2）²+2=-2（x-3）²+2=-2x²+12x-16，
假設存在⊙Q，使得⊙Q與兩坐標軸都相切，設點Q的坐標為（x，-2x²+12x-16），
則x=|-2x²+12x-16|，
∴x=-2x²+12x-16①或x=-（-2x²+12x-16）②，
整理①得，2x²-11x+16=0，
△=11²-4×2×16=121-128=-7＜0，
方程無解，
整理②得，2x²-13x+16=0，
解得x=

-b± b2-4ac

2a

=

13± 132-4×2×16

2×2

=

13± 41

4

，
∴當x=

13- 41

4

時，y=

-13+ 41

4

，
當x=

13+ 41

4

時，y=

-13- 41

4

，
∴點Q的坐標為（

13- 41

4

，

-13+ 41

4

）或（

13+ 41

4

，

-13- 41

4

）．

點評：本題是對二次函數的綜合考查，待定系數法求函數解析式，兩函數圖象交點的求解方法，三角形的面積，以及直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑的利用，綜合性較強，難度較大，注意求解時需要分情況討論．