Question

如圖，已知拋物線經過原點O和x軸上的另一點E，頂點為M（2，4），矩形ABCD的頂點A與O重合，AD，AB分別在x，y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）求該拋物線對應的函數解析式；
（2）現將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動；同時AB上一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速運動，設它們的運動時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與拋物線的交點為N，設多邊形PNCD的面積為S，試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用頂點坐標假設出解析式，進而將（0，0）代入得出解析式即可；
（2）根據題意得出P點坐標，進而表示出N點坐標，進而利用當PN=0，即t=0或t=3時，P、N、C、D所構成的多邊形為三角形，求出面積即可，再利用當PN≠0時，P、N、C、D四點所構成的多邊形是四邊形，求出面積即可，即可得出最值．

解答：解：（1）由拋物線的頂點為M（2，4），
設其對應的函數解析式為：y=a（x-2）²+4，
代入（0，0）得a=-1，
故所求解析式為：y=-x²+4x；

（2）∵將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從左圖所示位置沿x軸的正方向勻速平行移動；
同時AB上一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速運動，設它們的運動時間為t秒，
依題意，點P的坐標為：（t，t），點N的坐標為：（t，-t²+4t），
故PN=-t²+3t，
則有：當PN=0，
即t=0或t=3時，分別如圖1，2，
P、N、C、D所構成的多邊形為三角形，
此時S=

1

2

DC•AD=

1

2

×3×2=3，
當PN≠0時，如圖3，
P、N、C、D四點所構成的多邊形是四邊形，
因為PN∥CD，AD⊥DC，
∴S=

1

2

（CD+PN）•AD，
=

1

2

[3+（-t²+3t）]×2，
=-t²+3t+3，
=-（t-

3

2

）²+

21

4

（0≤t≤3），
所以當t=

3

2

時，S最大=

21

4

＞3，
綜上可知P、N、C、D所構成的多邊形的面積S有最大值，這個最大值為：

21

4

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及頂點式求二次函數解析式和配方法求二次函數的最值問題等知識，根據圖象進行分類討論得出是解題關鍵．