Question

在平面直角坐標系中，A、B為反比例函數的圖象上兩點，A點的橫坐標與B點的縱坐標均為1，將的圖象繞原點O順時針旋轉90°，A點的對應點為，B點的對應點為．

（1）求旋轉后的圖象解析式；

（2）求、點的坐標；

（3）連結．動點從點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動，當其中一個點停止運動時另一個點也隨之停止運動．設運動的時間為秒，試探究：是否存在使為等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）旋轉后的圖象解析式為．  ………………………  1分

（2）由旋轉可得（4，-1）、（1，-4）．  …………………………  3分

（3）依題意，可知．若為直角三角形，則同時也是等腰三角形，因此，只需求使為直角三角形的值．

分兩種情況討論：

①當是直角，時，如圖1，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=MN=t，

∴B′M=8-t，

∵，

∴．  …………  4分

解得  （舍去負值），

∴．  ………………  5分

②當是直角，時，

如圖2，

∵AB′=8，B′A′==，AM=B′N=t，

∴B′M=MN=8-t，

∵，

∴，

解得  ．

∵，，

∴此時t值不存在．  ……………  6分

（此類情況不計算，通過畫圖說明t值不存在也可以）

綜上所述，當時，為等腰直角三角形．  ………………  7分