Question

如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E．
（1）求證：AB·AF＝CB·CD；
（2）已知AB＝15 cm，BC＝9 cm，P是射線DE上的動點．設DP＝x cm（），四邊形BCDP的面積為y cm²．
①求y關于x的函數關系式；
②當x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值．

Answer 1

（1）證明：∵，，∴DE垂直平分AC，
∴,∠DFA＝∠DFC ＝90°，∠DAF＝∠DCF．
∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B．
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B，
∴△DCF∽△ABC．
∴，即．∴AB·AF＝CB·CD．
（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴，∴．
∴（）．
②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小．由（1）知，點C關于直線DE的對稱點是點A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小．
顯然當P、A、B三點共線時PB+PA最小．此時DP＝DE，PB+PA＝AB．
由（1），，，得△DAF∽△ABC．
EF∥BC，得，EF=．
∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15．∴AD＝10．
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．
∴．
∴當時，△PBC的周長最小，此時．

解析