Question

【題目】（12分）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，此時PD=3．

（1）求MP的值；

（2）在AB邊上有一個動點F，且不與點A，B重合．當AF等于多少時，△MEF的周長最小？

（3）若點G，Q是AB邊上的兩個動點，且不與點A，B重合，GQ=2．當四邊形MEQG的周長最小時，求最小周長值．（計算結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）．

【解析】

試題（1）由折疊的性質和矩形性質以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，利用勾股定理可計算出MP的長；

（2）如圖1，作點M關于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，利用兩點之間線段最短可得點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，則AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再證明ME=MP=5，利用勾股定理計算出MN=3， NM′=11，得出△AFM′∽△NEM′，利用相似比即可計算出AF；

（3）如圖2，由（2）知點M′是點M關于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用兩點之間線段最短可得此時MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理計算出M′R得出，從而得到四邊形MEQG的最小周長值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP==5；

（2）如圖1，作點M關于AB的對稱點M′，連接M′E交AB于點F，則點F即為所求，過點E作EN⊥AD，垂足為N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折疊，使點C落在AD邊上的點M處，折痕為PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，MN===3，∴NM′=11，∵AF∥ME，∴△AFM′∽△NEM′，∴，即，解得AF=，即AF=時，△MEF的周長最小；

（3）如圖2，由（2）知點M′是點M關于AB的對稱點，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點G，再過點E作EQ∥RG，交AB于點Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四邊形ERGQ是平行四邊形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，此時MG+EQ最小，四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′R==，∵ME=5，GQ=2，∴四邊形MEQG的最小周長值是．