Question

【題目】已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內部的一個定點，且OP＝2，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于2，則α＝（　　）．
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°

Answer 1

【答案】A
【解析】解答：如圖，作點P關于OA的對稱點C，關于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最小．
連接OC，OD，PE，PF．
∵點P與點C關于OA對稱，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA＋∠DOB＝∠AOP＋∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝2，
∴∠COD＝2α．
又∵△PEF的周長＝PE＋EF＋FP＝CE＋EF＋FD＝CD＝2，
∴OC＝OD＝CD＝2，
∴△COD是等邊三角形，
∴2α＝60°，
∴α＝30°．
故選A．

分析：設點P關于OA的對稱點為C，關于OB的對稱點為D，當點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE＋EF＋FP＝CD，此時周長最小，根據CD＝2可求出α的度數．