Question

【題目】如圖：在中，、分別平分與它的鄰補角，

于，于，直線分別交、于、．

求證：四邊形為矩形；

試猜想與的關系，并證明你的猜想；

如果四邊形是菱形，試判斷的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）且，證明詳見解析；（3）是直角三角形，證明詳見解析.

【解析】

（1）由AE⊥CE于E，AF⊥CF于F可得∠AEC=∠AFC=90°，再由，CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD，能證出∠ECF=90°，從而得證．
（2）由矩形的性質可證NE=NC，從而可代換出內錯角相等，兩直線平行，又因為N是AC的中點，由三角形中位線定理相應的推論可知M是AB的中點．
（3）求出∠ACE=∠EAC=45°，求出AE=CE，根據菱形的判定推出即可．

證明：∵于，于，

∴，

又∵、分別平分與它的鄰補角，

∴，，

∴，

∴三個角為直角的四邊形為矩形；

（2）且；

證明：∵四邊形為矩形，

∴對角線相等且互相平分，

∴，

∴，

∴，

又∵（矩形的對角線相等且互相平分），

∴是的中位線，

∴；

解：是直角三角形，

理由是：∵，平分，平分，

∴，

∵四邊形是矩形，

∴，

∴，

∴，

∵四邊形是矩形，

∴四邊形是菱形．