Question

提出問題：如圖①，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？
探究發現：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：
（1）當AP=

1

2

AD時（如圖②）：

∵AP=

1

2

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

2

S_△ABD．
∵PD=AD-AP=

1

2

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

1

2

S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

2

S_△ABD-

1

2

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

2

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

1

2

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

2

S_△DBC+

1

2

S_△ABC．
（2）當AP=

1

3

AD時，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系，寫出求解過程；
（3）當AP=

1

6

AD時，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系式為：

 

；
（4）一般地，當AP=

1

n

AD（n表示正整數）時，探求S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系，寫出求解過程；
問題解決：當AP=

m

n

AD（0≤

m

n

≤1）時，S_△PBC與S_△ABC和S_△DBC之間的關系式為：

 

．

Answer 1

分析：（2）仿照（1）的方法，只需把

1

2

換為

1

3

；
（3）注意由（1）（2）得到一定的規律；
（4）綜合（1）（2）（3）得到面積和線段比值之間的一般關系；
（5）利用（4），得到更普遍的規律．

解答：解：（2）∵AP=

1

3

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

3

S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=

2

3

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

2

3

S_△CDA．
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

3

S_△ABD-

2

3

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

3

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

2

3

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

3

S_△DBC+

2

3

S_△ABC．
∴S_△PBC=

1

3

S_△DBC+

2

3

S_△ABC

（3）S_△PBC=

1

6

S_△DBC+

5

6

S_△ABC；

（4）S_△PBC=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC；
∵AP=

1

n

AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S_△ABP=

1

n

S_△ABD．
又∵PD=AD-AP=

n-1

n

AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S_△CDP=

n-1

n

S_△CDA
∴S_△PBC=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△CDP
=S_{四邊形ABCD}-

1

n

S_△ABD-

n-1

n

S_△CDA
=S_{四邊形ABCD}-

1

n

（S_{四邊形ABCD}-S_△DBC）-

n-1

n

（S_{四邊形ABCD}-S_△ABC）
=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC．
∴S_△PBC=

1

n

S_△DBC+

n-1

n

S_△ABC
問題解決：S_△PBC=

m

n

S_△DBC+

n-m

n

S_△ABC．

點評：注意總結相應規律，類似問題通常采用類比的方法求解．