Question

如圖，△ABC中，，延長BA至D，使，點E、F分別是邊BC、AC的中點.

（1）判斷四邊形DBEF的形狀并證明；
（2）過點A作AG⊥BC交DF于G，求證：AG=DG．

Answer 1

(1)四邊形 DBEF為等腰梯形，證明見解析；（2）證明見解析.

試題分析：（1）根據題意可知四邊形DBEF是四邊形；再證明BE=DE，即可判定四邊形DBEF的形狀；
（2）由四邊形DBEF是等腰梯形知∠B=∠D，而AG∥BC，所以∠D=∠DAG，即可得AG=DG.
試題解析：（1）四邊形 DBEF為等腰梯形，證明如下：

如圖，過 F 作FH∥BC，交AB于H，
∵FH∥BC，點F是AC的中點，點E是BC的中點，
∴AH=BH=AB，EF∥AB.
顯然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD
∴四邊形DBEF為梯形
∵AD=AB
∴AD=AH
∵CA⊥AB
∴CA是DH的中垂線.
∴DF=FH
∵FH∥BC,EF∥AB
∴四邊形HFEB是平等四邊形.
∴FH=BE
∴BE=FD
故四邊形 DBEF為等腰梯形
（2）∵四邊形DBEF是等腰梯形
∴∠B=∠D
∵AG∥BC，∠B=∠DAG
∴∠D=∠DAG
∴AG=DG
考點: 等腰梯形的判定與性質.