Question

在平行四邊形中，分別為邊的中點，連接．

（1）求證：．（4分）
（2）若，則四邊形是什么特殊四邊形？請證明你的結論．（5分）

Answer 1

證明見解析．

試題分析：（1）根據平行四邊形的對邊相等的性質可以得到AD=BC，AB=CD，又點E、F是AB、CD中點，所以AE=CF，然后利用邊角邊即可證明兩三角形全等；
（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明，連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根據菱形的判定可以得到四邊形是菱形．
試題解析：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）是菱形．理由如下：
由（1）可得BE=DF，
又AB∥CD，
∴BEDF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
連接EF，在?ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，

∴DFAE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴EF∥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四邊形BFDE是平行四邊形，
∴四邊形BFDE是菱形．