Question

【題目】如圖，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖放置，頂點(diǎn)P在線段AB上滑動(dòng)，三角尺的直角邊PM始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，并且與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點(diǎn)D.

（1）當(dāng)PN∥BC時(shí)，判斷△ACP的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）點(diǎn)P在滑動(dòng)時(shí)，當(dāng)AP長(zhǎng)為多少時(shí)，△ADP與△BPC全等，為什么？

（3）點(diǎn)P在滑動(dòng)時(shí)，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請(qǐng)求出夾角α的大小；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）△ACP是直角三角形，理由見(jiàn)解析；（2）4，理由見(jiàn)解析；（3）當(dāng)α=45°或90°或0°時(shí)，△PCD是等腰三角形．

【解析】試題分析： 為直角三角形，理由為：，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，求出為直角，即可得證；
（2）當(dāng)AP=4時(shí)，△ADP與△BPC全等，理由為：根據(jù)且，求出 與度數(shù)，再由外角性質(zhì)得到 根據(jù)，利用 即可得證；
點(diǎn)在滑動(dòng)時(shí)，的形狀可以是等腰三角形，分三種情況考慮：當(dāng) 分別求出夾角的大小即可．

試題解析：(1)是直角三角形，理由為：

當(dāng)時(shí),

又，

∴是直角三角形；

(2)當(dāng)AP=4時(shí),

理由為：

又∵∠APC是△BPC的一個(gè)外角，

又

∴

(3)△PCD的形狀可以是等腰三角形，

則

①當(dāng)PC=PD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

即

②當(dāng)PD=CD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

即

③當(dāng)PC=CD時(shí)，△PCD是等腰三角形，

即

，

此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)D和A重合，

綜合所述：當(dāng)或或 時(shí)，△PCD是等腰三角形.