Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BO=OC=3AO，直線y=﹣x+1與y軸交于點D.

（1）求拋物線的解析式；

（2）證明：△DBO∽△EBC；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）詳見解析；（3）符合條件的P點坐標為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）.

【解析】

試題分析：（1）先求出點C的坐標，在由BO=OC=3AO，確定出點B，A的坐標，最后用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先求出點A，B，C，D，E的坐標，從而求出BC=3，BE=2，CE=，OD=1，OB=3，BD=，求出比值，得到得出結論；（3）設出點P的坐標，表示出PB，PC，求出BC，分三種情況計算即可.

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3，

∴c=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴OC=3，

∵BO=OC=3AO，

∴BO=3，AO=1，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

∵該拋物線與x軸交于A、B兩點，

∴，

∴，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

（2）由（1）知，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴E（1，﹣4），

∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴BC=3，BE=2，CE=，

∵直線y=﹣x+1與y軸交于點D，

∴D（0，1），

∵B（3，0），

∴OD=1，OB=3，BD=，

∴，，，

∴，

∴△BCE∽△BDO，

（3）存在，

理由：設P（1，m），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BC=3，PB=，PC=，

∵△PBC是等腰三角形，

①當PB=PC時，

∴=，

∴m=﹣1，

∴P（1，﹣1），

②當PB=BC時，

∴3=，

∴m=±，

∴P（1，）或P（1，﹣），

③當PC=BC時，

∴3=，

∴m=﹣3±，

∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），

∴符合條件的P點坐標為P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）.

考點:二次函數的綜合題.