Question

（2012•建寧縣質檢）如圖：在直角坐標系中，以點A（3，0）為圓心，以5為半徑的圓與x軸相交于B、C兩點，與y軸相交于D、E兩點．
（1）若拋物線y=

1

4

x2+bx+c經過C、D兩點，求此拋物線的解析式，并判斷點B是否在這條拋物線上？
（2）過點E的直線y=kx+m交x軸于F（-

16

3

，0），求此直線的解析式，這條直線是⊙A的切線嗎？請說明理由；
（3）探索：是否能在（1）中的拋物線上找到一點Q，使直線BQ與x軸正方向所夾銳角的正切值等于

1

4

？若能，請直接寫出Q點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接AE，利用垂徑定理可求出點D的坐標為（0，-4），根據圓的半徑為5，可得出點C的坐標為（8，0），利用待定系數法求解即可；
（2）根據直線經過點E（0，4），可設直線解析式為y=kx+4，將點F的坐標代入可得出直線解析式，分別求出EF2，AF2，AE2，利用勾股定理的逆定理判斷出∠AEF為直角，繼而根據切線的判定可得出結論；
（3）由（1）得點B在拋物線上，設點Q的坐標為（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），分別討論點Q的位置，①點Q在x軸上方，②點Q在x軸下方，利用正切值建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：連接AE，

由題意得，OD=OE=4，
故可得：C、D兩點坐標為：C（8，0），D（0，-4），
把C、D兩點坐標代入y=

1

4

x2+bx+c中，
得：

16+8b+c=0 c=-4

，
 解得：b=-

3

2

，
故所求二次函數為：y=

1

4

x2-

3

2

x-4，
∵B點坐標為（-2，0），
∴當x=-2時，y=

1

4

×(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴點B在這條拋物線上．

（2）因為直線經過點E（0，4），可設解析式為：y=kx+4，
把點F（-

16

3

，0）代入上式得：k=

3

4

，
故所求一次函數為：y=

3

4

x+4，
在Rt△OEF中，EF²=OE²+OF²=16+

256

9

=

400

9

，
在△AEF中，AF=3+

16

3

=

25

3

，
即AF2=

625

9

，
∴EF²+AE²=

400

9

+25=

625

9

=AF²，
∴∠AEF=90°，
∴EF是⊙O的切線．
（3）能找到這樣的點Q，
設存在點Q（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），
∵直線BQ與x軸正方向所夾銳角的正切值等于

1

4

，
①若點Q在x軸上方時，此時

1 4 x2- 3 2 x-4

x-(-2)

=

1

4

，
解得：x₁=9，x₂=-2（舍去），
故此時點Q的坐標為（9，

11

4

）；
②若點Q在x軸下方時，

-( 1 4 x2- 3 2 x-4)

x-(-2)

=

1

4

，
解得：x₁=7，x₂=-2（舍去），
故此時點Q的坐標為（7，-

9

4

）．
故可得存在點Q的坐標，其坐標分別為：（9，

11

4

） 和 （7，-

9

4

）．

點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的判定、待定系數法求函數解析式及三角函數的知識，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是掌握各個知識點之間的融會貫通．