Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E，F，連接BF交AC于點M，連接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，則下列結論：
①FB⊥OC，OM=CM；
②△EOB≌△CMB；
③四邊形EBFD是菱形；
④MB：OE=3：2．
其中正確結論的個數是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：連接BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O為AC中點，

∴BD也過O點，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，

在△OBF與△CBF中

∴△OBF≌△CBF（SSS），

∴△OBF與△CBF關于直線BF對稱，

∴FB⊥OC，OM=CM；

∴①正確，

∵∠OBC=60°，

∴∠ABO=30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM=∠CBM=30°，

∴∠ABO=∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF=∠OAE，

∵OA=OC，

易證△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∴OB⊥EF，

∴四邊形EBFD是菱形，

∴③正確，

∵△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB錯誤．

∴②錯誤，

∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，

∴MB= ，OF= ，

∵OE=OF，

∴MB：OE=3：2，

∴④正確；

故選：C．

【考點精析】利用矩形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．