Question

【題目】如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，在弧AB上取點P，連接AP，BP，過點D作DQ∥AP交⊙O于點Q，連接BQ． 已知BP=1，BQ=3，PQ的長為 ，AP的長為_____________．

Answer 1

【答案】，

【解析】

根據正六邊形的性質過圓心O，則PQ也過圓心O，利用勾股定理可求得直徑，在直角三角形PMB中，利用含30度角的直角三角形的性質求得BM、PM，再證得△ABM∽△QPB，可求得AM的長，即可求得結論．

連接PQ，，過B作AP的垂線交AP的延長線為M，

∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，DQ∥AP，

∴過圓心O，

∴PQ也過圓心O，

∴∠PBQ=∠PDQ=90°，

∵BP=1，BQ=3，

∴PQ=；

即⊙O的直徑為；

∴正六邊形的邊長AB=，

∵∠APB=∠APD+∠DPB =90°+60°=150°，

∴∠BPM=180°-∠APB =180°-150°=30°，

∴BM==，PM=BM=，

∵∠MAB=∠BQP，∠AMB=∠QBP=90°，

∴△ABM∽△QPB，

∴AM:MB=BQ:BP=3:1=3，

∴AM=，

∴AP=AM-PM=，

故答案為：，．