Question

【題目】已知：拋物線y=ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2（a＞0）．
（1）求證：拋物線與x軸有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸有兩個交點的橫坐標分別為x1 ， x2 ， （其中x1＞x2）．若y是關于a的函數，且y=ax2+x1 ， 求這個函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，結合函數的圖象回答：若使y≤﹣3a2+1，則自變量a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△=4（a﹣1）2﹣4a（a﹣2）=4＞0，

∴拋物線與x軸有兩個交點

（2）解：解方程得x= ，

∴x=1或x=1﹣ ，

∵a＞0，x1＞x2，

∴x1=1，x2=1﹣ ，

∴y=a（1﹣ ）+1=a﹣1（a＞0）

（3）0＜a≤
【解析】（3）解：畫出直線y=a﹣1和拋物線y=﹣3a2+1的圖象，如圖，
解方程得到a﹣1=﹣3a2+1得a=﹣1或a= ，
即直線y=a﹣1和拋物線y=﹣3a2+1的圖象的交點坐標為（﹣1，﹣2）、（ ，﹣ ），
當﹣1≤a≤ 時，a﹣1≤﹣3a2+1，
而a＞0，
∴a的取值范圍為0＜a≤ ．
所以答案是0＜a≤ ．

【考點精析】利用拋物線與坐標軸的交點對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．