Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關于⊙C的限距點的定義如下：若P′為直線PC與⊙C的一個交點，滿足r≤PP′≤2r，則稱P′為點P關于⊙C的限距點，如圖為點P及其關于⊙C的限距點P′的示意圖．

（1）當⊙O的半徑為1時．
①分別判斷點M（3，4），N（ ，0），T（1， ）關于⊙O的限距點是否存在？若存在，求其坐標；
②點D的坐標為（2，0），DE，DF分別切⊙O于點E，點F，點P在△DEF的邊上．若點P關于⊙O的限距點P′存在，求點P′的橫坐標的取值范圍；
（2）保持（1）中D，E，F三點不變，點P在△DEF的邊上沿E→F→D→E的方向運動，⊙C的圓心C的坐標為（1，0），半徑為r，請從下面兩個問題中任選一個作答．

問題1	問題2
若點P關于⊙C的限距點P′存在，且P′隨點P的運動所形成的路徑長為πr，則r的最小值為 ．	若點P關于⊙C的限距點P′不存在，則r的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：①點M、點T關于⊙O的限距點不存在，點N關于⊙0的限距點存在，坐標為（1，0）．

②∵點D坐標為（2，0），⊙O半徑為1，DE、DF分別切⊙O于E、F，

∴切點坐標為（ ， ），（ ，﹣ ），如圖所示，不妨設點E（ ， ），點F（ ，﹣ ），

EO、FO的延長線分別交⊙O于點E′、F′，則E′（﹣ ，﹣ ），F′（﹣ ， ）．

設點P關于⊙O的限距點的橫坐標為x，

①當點P在線段EF上時，直線PO與⊙O的交點P′滿足1≤PP′≤2，故點P關于⊙O的限距點存在，其橫坐標x滿足﹣1≤x≤﹣ ．

②當點P在線段DE、DF（不包括端點）上時，直線PO與⊙O的交點P′滿足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故點P關于⊙O的限距點不存在．

③當點P與點D重合時，直線PO與⊙O的交點P′（1，0），滿足PP′=1，故點P關于⊙O的限距點存在，其橫坐標x=1．

綜上所述點P關于⊙O的限距點的橫坐標x的范圍為﹣1≤x≤﹣ 或x=1

（2）；0＜r＜
【解析】解：（2）問題1：如圖2中，∵△DEF是等邊三角形，點C是△DEF的外接圓的圓心，
∵若點P關于⊙C的限距點P′存在，且P′隨點P的運動所形成的路徑長為πr，
∴圖中△PP′C是等邊三角形，點P在PP′上運動時，有限距點，
∵PC∥ED，
∴ = ，
∴PC= ，
由題意：r≤ ﹣r≤2r，
∴ ，
∴r的最小值為 ．
問題2：如圖2中，當點H不存在限距點時，點P就不存在限距點，
∵HC= ，
∴ ﹣r＞2r，
∴r＜ ，
∴0＜r＜ 時點P的限距點不存在．
故答案分別為 ，0＜r＜ ．