Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點P在AB上從A向B運動，連接DP交AC于點Q．

（1）試證明：無論點P運動到AB上何處時，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）若點P從點A運動到點B，再繼續(xù)在BC上運動到點C，在整個運動過程中，當點P 運動到什么位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點P運動到①點B的位置；②在BC上，且到點B的距離為8﹣4處；③運動到點C的位置時，△ADQ恰為等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AD=AB，對角線平分一組對角可得∠DAQ=∠BAQ=45°，然后利用“邊角邊”證明△ADQ和△ABQ全等；

（2）分①AQ=DQ時，點B、P重合，②AQ=AD時，根據(jù)等邊對等角可得∠ADQ=∠AQD，再求出正方形的對角線AC的長，再求出CQ，然后根根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠CPQ=∠ADQ，從而得到∠CQP=∠CPQ，根據(jù)等角對等邊可得CP=CQ，從而得到點P的位置，③AD=DQ時，點C、P、Q三點重合．

（1）證明：在正方形ABCD中，無論點P運動到AB上何處時，

都有AD=AB，∠DAQ=∠BAQ=45°，

在△ADQ和△ABQ中，，

∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）若△ADQ是等腰三角形，

則有①如圖1，AQ=DQ時，點Q為正方形ABCD的中心，點B、P重合；

②如圖2，AQ=AD時，根據(jù)等邊對等角有∠ADQ=∠AQD，

∵正方形ABCD的邊長為4，

∴AC==4，

∴CQ=AC﹣AQ=4﹣4，

∵AD∥BC，

∴∠CPQ=∠ADQ，

∴∠CQP=∠CPQ，

∴CP=CQ=4﹣4，

此時點P在距離點B：4﹣（4﹣4）=8﹣4；

③如圖3，AD=DQ時，點C、P、Q三點重合；

綜上所述，當點P運動到①點B的位置；②在BC上，且到點B的距離為8﹣4處；③運動到點C的位置時，△ADQ恰為等腰三角形．