Question

【題目】如圖，在RtΔABC，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，動點M、N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A、B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，MN，設移動時間為t(單位:秒，0<t<2.5).

(1)當t為何值時，ΔMCN面積為2cm?

(2)是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積為cm?若存在，求t的值，若不存在，請說明理由；

(3)當t為何值時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似?

Answer 1

【答案】（1）2 （2）存在；1.5 （3）1.5

【解析】

（1）由題意可知CN＝CM＝t，再用含t的式子表示出三角形CMN的面積，再列方程即可求解；

（2）先根據勾股定理求出AB的長，過點P作PD⊥BC于點D，構造平行線PD∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PD的值，再根據“S四邊形APNC=S△ABC-S△BPN”列出S與t的關系式,根據其面積等于，列方程求解，再將解進行檢驗即可得出結果.

（3）分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值；

解：（1）由題意可知CN＝CM＝t，

∴S△MCN＝CMCN＝，

∴，

解得t＝2或t＝﹣2（舍去），

∴當t的值為2時，△MCN的面積為2cm2；

（2）存在，理由如下：

如圖1，過P作PD⊥BC于點D，則PD∥AC，

∴△PBD∽△ABC，

∴，

由題意可知AC＝4cm，BC＝3cm，

∴AB＝5cm，且BP＝2tcm，

∴，解得PD＝cm，

∵CN＝t，

∴BN＝3﹣t，

∴S△PBN＝BNPD＝（3﹣t）×＝，

∵S△ABC＝ACBC＝×4×3＝6，

∴S四邊形APNC＝S△ABC﹣S△PBN＝6﹣（）＝，

令S四邊形APNC＝可得＝，即，解得，

∴當t＝1.5時，四邊形APNC的面積為cm2；

（3）由（2）可知AP＝5﹣2t，AM＝4﹣t，

∵△APM和△ABC中滿足∠A＝∠A，

∴由△APM和△ABC相似分兩種情況，即△APM∽△ABC和△AMP∽△ABC，

當△APM∽△ABC時，則有，即，解得t＝0，不符合題意；

當△AMP∽△ABC時，則有，即，解得t＝1.5，

∴當t的值為1.5時，滿足△APM和△ABC相似．