Question

如圖，直角梯形OABC的直角頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點，BD=

1

4

OA=

2

，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA、AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°．

（1）直接寫出D點的坐標；
（2）設OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數關系；
（3）將△AEF沿一條邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形能否成為菱形？若能，請直接寫出符合條件的x值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）結合已知條件，推出A點的坐標，根據銳角三角函數可以推出B點的坐標，然后求D點的坐標就容易多了，
（2）作輔助線OD，在梯形DOAB中，可以求證OD=AB=3，然后根據已知角的度數，求證△ODE∽△AEF即可得出y與x之間的函數關系，
（3）分情況進行分析，依據菱形的性質，①當EF=AF時，所以△AEF為等腰直角三角形，由△ODE∽△AEF可知，x=DE，根據OD=3，求出DE即可；②當EF=AE時，△AEF為等腰直角三角形，推出DE∥AB，得x=OA-BD，把OA，BD的長度代入即可，③當AE=AF時，△AEF為頂角等于45°的等腰三角形，由△ODE∽△AEF推出△ODE也為頂角等于45°的等腰三角形，求x就容易了

解答：解：（1）D點的坐標是(

3

2

2

，

3

2

2

)（2分）

（2）連接OD，如圖，
由結論（1）知：D在∠COA的平分線上，則
∠DOE=∠COD=45°，又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-∠DEF=∠DEA-45°
∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF（3分）
∴

OE

AF

=

OD

AE

，即：

x

y

=

3

4 2 -x

∴y與x的解析式為：y=-

1

3

x2+

4 2

3

x（6分）

（3）x的值為：

3

2

2

；3

2

；3（6分）（每個2分）

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質、等腰三角形的定義和性質、根據實際問題列二次函數關系式、菱形的定義和性質等有關知識點，解題的關鍵是確定A、B、D等點的坐標，以此確定有關線段的長度；求證△ODE和△AEF相似；根據菱形的性質確定相等關系．