Question

【題目】如圖1，拋物線平移后過點A（8，,0）和原點，頂點為B，對稱軸與軸相交于點C，與原拋物線相交于點D．

（1）求平移后拋物線的解析式并直接寫出陰影部分的面積；

（2）如圖2，直線AB與軸相交于點P，點M為線段OA上一動點，為直角，邊MN與AP相交于點N，設，試探求：

①為何值時為等腰三角形；

②為何值時線段PN的長度最小，最小長度是多少．

Answer 1

【答案】（1）平移后拋物線的解析式，= 12；（2）①，②當＝3時，PN取最小值為．

【解析】

（1）設平移后拋物線的解析式y=x2+bx，將點A（8，0）代入，根據待定系數法即可求得平移后拋物線的解析式，再根據割補法由三角形面積公式即可求解；

（2）作NQ垂直于x軸于點Q，

①分當MN=AN時，當AM=AN時，當MN=MA時，三種情況討論可得△MAN為等腰三角形時t的值；

②由MN所在直線方程為y=，與直線AB的解析式y=﹣x+6聯立，得xN的最小值為6，此時t=3，PN取最小值為．

（1）設平移后拋物線的解析式，

將點A（8，,0）代入，得=，

所以頂點B（4,3），

所以S陰影=OCCB=12；

（2）設直線AB解析式為y=mx+n，將A（8，0）、B（4，3）分別代入得

，解得：，

所以直線AB的解析式為，作NQ垂直于x軸于點Q，

①當MN＝AN時， N點的橫坐標為，縱坐標為，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知,得，解得（舍去）.

當AM＝AN時，AN＝,由三角形ANQ和三角形APO相似可知，，MQ＝，

由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：，

解得：

t＝12（舍去）；

當MN＝MA時，故是鈍角，顯然不成立,

故；

②由MN所在直線方程為y=，與直線AB的解析式y=﹣x+6聯立，

得點N的橫坐標為XN=，即t2﹣xNt+36﹣xN=0，

由判別式△=x2N﹣4（36﹣）≥0，得xN≥6或xN≤﹣14，

又因為0＜xN＜8，

所以xN的最小值為6，此時t=3，

當t=3時，N的坐標為（6，），此時PN取最小值為．