Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作半圓⊙O，交BC于點D，連接AD．過點D作DE⊥AC，垂足為點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）當⊙O半徑為3，CE＝2時，求BD長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BD＝2．

【解析】

（1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論；
（2）由∠B=∠C，∠CED=∠BDA=90°，得出△DEC∽△ADB，得出，從而求得BDCD=ABCE，由BD=CD，即可求得BD2=ABCE，然后代入數據即可得到結果．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵AB為⊙0的直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴AD平分BC，即DB＝DC，

∵OA＝OB，

∴OD為△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙0的切線；

（2）∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，

∴△DEC∽△ADB，

∴，

∴BDCD＝ABCE，

∵BD＝CD，

∴BD2＝ABCE，

∵⊙O半徑為3，CE＝2，

∴BD＝＝2．