Question

【題目】如圖，正方形的邊長為，點是邊上的動點，從點開始沿向運動. 以為邊，在的上方作正方形，交于點，連接、.請探究：

（1）線段與是否相等？請說明理由.

（2）若設，，當取何值時，最大？最大值是多少？

（3）當點運動到的何位置時，△∽△？

Answer 1

【答案】（1）AE =CG，理由見解析；（2）當時，有最大值為；（3）當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE，理由見解析

【解析】

（1）AE=CG，要證結論，必證△ABE≌△CBG，由正方形的性質可證明∠3=∠4，由 SAS即可得到結論．

（2）先證△ABE∽△DEH，所以，即可求出函數解析式，繼而求出最值．

（3）要使△BEH∽△BAE，需，又因為△ABE∽△DEH，所以，即，所以當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE．

（1）AE =CG．理由如下：

正方形ABCD和正方形BEFG中，∠3+∠EBC=90°，∠4+∠EBC=90°，∴ ∠3=∠4．

又∵AB=BC，BE=BG，∴△ABE≌△CBG，∴AE=CG．

（2）∵正方形ABCD和正方形BEFG，∴∠A=∠D=∠FEB=90°，∴ ∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴ ∠1=∠3．

又∵∠A=∠D，∴△ABE∽△DEH ，∴，∴ ，∴ ，∴ 當時，有最大值為．

（3）當E點是AD的中點時，△BEH∽△BAE．理由如下：

∵ E是AD中點，∴ ，∴ ．

又∵△ABE∽△DEH，∴ ．

又∵ ，∴ ．

又∵，∴△BEH∽△BAE．